“Twenty years from now you will be more disappointed by the things you didn’t do than by the ones you did do. So throw off the bowlines. Sail away from the safe harbor. Catch the trade winds in your sails. Explore. Dream. Discover.”

Exemple de fonction concave

Weisstein, Eric W. Par exemple, pour une fonction linéaire, chaque point satisfait à la définition alternative. Indiquer la hauteur du segment de ligne de (a, f (a)) à (b, f (b)) au point x par ha, b (x). Les économistes supposent souvent que la fonction de production d`une entreprise est en augmentation et concave. Tracer des intervalles ouverts avec les zéros (racines) du deuxième dérivé et les points de discontinuité (le cas échéant). Notons que certains auteurs, dont Sydsæter et Hammond (1995) (p. La somme de deux fonctions concaves est elle-même concave et est donc le minimum pointwise de deux fonctions concaves, i. Si une fonction f est concave et f (0) ≥ 0, alors f est sous-additif sur [0, ∞) {displaystyle [0, infty]}. Dans l`exemple du premier des deux chiffres suivants, l`augmentation de la production générée par chaque augmentation unitaire de l`intrant non seulement n`augmente pas à mesure que l`on utilise davantage l`entrée, mais diminue en fait, de sorte que, dans le jargon économique, il y a des «rendements décroissants» , pas simplement “retours non croissants”, à l`entrée. Il est utilisé pour montrer le résultat important que, pour une fonction de différenciation concave f chaque point x pour lequel f` (x) = 0 est un maximiseur global, et pour une fonction convexe de différenciation chaque point est un minimiseur global. Des exemples d`une telle fonction pour une entreprise qui utilise une seule entrée sont indiqués dans les deux prochains chiffres. Le fait qu`il soit concave signifie que l`augmentation de la production générée par chaque augmentation d`une unité dans l`entrée n`augmente pas à mesure que l`on utilise plus d`entrée. Pour l`intervalle (− ∞, 0), prendre x = − 1, par exemple.

Laissez f être une telle fonction. Le fait qu`une telle fonction de production augmente signifie que plus d`entrée génère plus de production. Tout maximum local d`une fonction concave est également un maximum global. Dans le jargon économique, il y a des «retours non croissants» à l`intrant, ou, étant donné que l`entreprise utilise une seule entrée, «rendements non croissants à l`échelle». Selon cette définition alternative, f “n`a pas à changer de signe à c. Le résultat suivant indique cette observation, et la même pour les fonctions convexes, précisément. Pour simplifier, je vais illustrer avec $L = $1. Ce premier exemple a un premier dérivé non négatif partout dans [0,1], atteignant une première valeur dérivée minimale de $0 $ à $x = 0.

Si son deuxième dérivé est négatif alors il est strictement concave, mais l`opposé n`est pas vrai, comme montré par f (x) = − X4. Précisément, chaque point où la dérivée d`une fonction de différenciation concave est zéro est un maximiseur de la fonction, et chaque point à laquelle la dérivée d`une fonction de différenciation convable est zéro est un minimiseur de la fonction. Cela peut être accompli avec une fonction quartique. Pour une fonction f: R → R {displaystyle f:mathbb {R} To mathbb {R}}, cette deuxième définition indique simplement que pour chaque z {displaystyle z} strictement entre x {displaystyle x} et y {displaystyle y}, le point (z, f (z)) {displaystyle (z, f (z))} sur le graphique de f {displaystyle f} est au-dessus de la ligne droite joignant les points (x, f (x)) {displaystyle (x, f (x))} et (y, f (y)) {displaystyle (y, f (y))}.